质数数列_既是质数又是合数的数 -今日讯

质数序列(既是质数又是合数的数):16。机器之心专业版

选自广达杂志

作者:Erica Klarreich

【资料图】

机器心脏编译

编辑:恶魔

在证明著名的鄂尔多斯-等差数列猜想的道路上，数学圈可能又前进了一步。

关于等差数列级数的鄂尔多斯猜想，也称为Erdős-Turan猜想，是由匈牙利数学家、沃尔夫数学奖获得者erdos帕尔和帕尔·图兰·恩共同提出的关于调和发散数列的等差数列的一个数论猜想

这个猜想的内容是:

鄂尔多斯猜想。(来源: *** )

2004年，陶哲轩和本·格林证明了这个猜想的弱化版本。

最近，托马斯·布鲁姆(Thomas Bloom)和奥洛夫·西萨克(Olof Sisask)两位数学家解决了这个著名猜想的之一部分，即整数的无穷序列必须包含长度至少为三的等差数列(如26，29，32)。

鄂尔多斯一生提出了成千上万个问题，但他最喜欢的问题是哪个数列包含“等差数列”。

剑桥大学数学教授蒂莫西·高尔斯(Timothy Gowers)说:“我想很多人把这个猜想视为鄂尔多斯的之一号难题。他在1998年获得了菲尔兹奖，并花了很多时间试图证明这个猜想。“令人高兴的是，一些加法组合研究人员有兴趣探索这一猜想。」

通常，序列越密，越有可能包含等差数列。所以鄂尔多斯提出了一个简单的序列密度检验:求序列中所有数的倒数和。如果数字多到可以倒数发散，鄂尔多斯猜测数列应该包含任意长度的等差数列，比如等差三倍、四倍等。

最近，剑桥大学的托马斯·布鲁姆和斯德哥尔摩大学的奥洛夫·西萨克发表论文，证明了这个猜想适用于算术三元组(如5，7，9)。他们证明了只要一个数列中所有元素的倒数和散度，就一定包含无穷个算术三元组(即三个数的算术级数)。

托马斯·布鲁姆和奥洛夫·西萨克

“这个发现是这么多年来的一个标志性事件，这是一个大事件。加州理工学院的Nets Katz教授说。

一组素数的倒数和是发散的。20世纪30年代，Johannes van der Corput利用素数的特殊结构，证明了它们确实包含无限个算术三元组(如17，23，29)。

而Bloom和Sisask的新发现，意味着在证明素数序列包含无限三元组时，不需要掌握素数的唯一结构。你只需要知道，有足够多的质数使它们互逆发散，这是几个世纪前数学家发现的。

牛津大学数学研究所高级研究员汤姆·桑德斯在电子邮件中说:“布鲁姆和西萨克的研究结果表明，即使素数具有与过去完全不同的结构，它们仍然可以保证无穷多个等差数列。」

Bloom和Sisask发表的论文长达77页，需要数学家花一些时间和精力仔细阅读和审阅。然而，许多人乐观地认为他们的证明是正确的。“这个证明真的很体面。”Nets Katz说，早期的工作为这一结果奠定了基础。

Bloom和Sisask定理表明，只要序列足够密集，就会出现某些模式。这一发现符合莎拉·佩卢斯在牛津大学数学领域的基本口号:“完全无序是不可能的。”(这句话最早出自数学家西奥多·莫茨基。)

覆盖“密度”

只要级数足够稀疏，让它不含等差数列是很简单的。例如，对于序列1，10，100，1，000，10，000，…(其倒数和为1.11111…)。这些数字的密度下降得如此之快，以至于你永远找不到长度为3的等差数列。

你可能会想，有没有不包含等差数列的非常密集的剧集？

可以从头开始试，让数列中的所有数字都不能形成等差数列。最后，序列1，2，4，5，10，11，13，14，…乍一看似乎密密麻麻，但是随着数字越来越大，数列就变得非常稀疏。例如，当它达到20位数时，只有大约0.00009%的数字出现在数列中。1946年，Felix Behrend提出了更密集的例子，但它们很快变得稀疏。当数字达到20位数时，只有0.001%的数字出现在序列中。

现在让我们看看另一个极端。如果你的数列包含了几乎所有的整数，那它一定包含了等差数列。

但是在这两个极端之间是一个广阔而神秘的中间地带。数列的稀疏性还能在多大程度上保证数集包含等差数列？

鄂尔多斯提供了一个可能的答案。他认为倒数和可以用来揭示“密度”:N个数最多的序列的密度至少接近1/N位数。也就是说，数列变得更稀疏是没问题的，只要稀疏的速度足够慢:如果数列中更大的数是5位数，密度至少是1/5；如果序列中有20位，则密度至少为1/20，以此类推。

当这个密度条件满足时，鄂尔多斯猜想级数应该包含任意长度的无穷等差数列。

1991年6月，鄂尔多斯在剑桥大学任教。

1953年，克劳斯·罗斯开始证明鄂尔多斯的等差数列猜想。三年后，在一项帮助他赢得1958年菲尔兹奖的工作中，他构建了一个密度函数，可以确保算术三元组的存在。它的密度并没有鄂尔多斯猜想的那么低，但是随着级数越来越长，数值趋近于0。罗斯定理的意思是，一个数列的密度最终会低于1%，然后低于0.1%，然后低于0.01%……只要密度低于这些阈值的速度足够慢，这个数列就一定包含等差数列。

Roth的方法依赖于这样一个事实，即大多数具有其所选密度的数列“想要”包含等差数列，并且它们包含足够多的不同数字对，并且这些数字对的中心值也属于该数列，这样就出现了算术三元组。

棘手的部分是如何将这个属性从“most”推广到“all”系列，即使那些结构试图避免等差数列。

基于一个高度结构化的序列，Roth想到用傅里叶变换来绘制其“频谱”，从而提取出序列结构。这可以检测序列中的强重复模式，也是x光片和射电频谱底层技术涉及的数学知识。

有些频率比其他频率显得更强烈，这些变化突出了模式本身。例如，强频率可能表示序列包含更多奇数。如果是这样，你只需要把重点放在奇数上，这样你就可以得到比一开始更密集的 *** 。罗斯证明，经过有限的蒸馏，可以得到一组足够密集的数，它们包含了等差数列。

在过去的半个世纪里，Roth的方法激发了解析数论领域的许多发展。斯坦福大学数学教授雅各布·福克斯(Jacob Fox)表示，“这些都是非常有影响力的想法。」

从纸牌游戏中寻找等差数列

Roth的观点只对开始时密集的数据集有效，否则反复蒸馏只会使数据集衰减。其他数学家也逐渐找到了一些方法，可以从Roth的方法中得到更多，但无法解决鄂尔多斯等差数列猜想中的密度问题。福克斯说，“这似乎是一个难以跨越的坎。」

2011年，Katz和Michael Bateman发现了一种在更简单的设定下克服上述障碍的方法:在设定的卡牌游戏中，寻找符合三 *** 模式的卡牌。他们发现有一种准确的方法可以将匹配的 *** 三元组卡片视为等差数列，就像在整数数列中一样，你可以问放下卡片的哪一部分，以确保至少找到一个三元组。

这个问题是整数序列对应问题的简化模型，所以数学家们希望贝特曼和卡茨的发现能够为证明鄂尔多斯-等差数列猜想提供一个突破口，特别是在结合其他近期的发展之后。

贝特曼和卡茨的论文发表后不久，高尔斯就推出了一个大型在线合作项目Polymath，进行这样的尝试。

然而，这个项目很快就搁浅了。“这需要很大的技术能力，这个项目比较适合一两个长期坚持的人。高尔斯说。

幸运的是，Bloom和Sisask出现并尝试了。起初，他们被鄂尔多斯的科技之美和等差数列的猜想所吸引，开始分别思考。“这是我首先研究的问题之一。西萨克说。